So, wir haben viel über Optimalitätsbedingungen gehört mit Gleichungs- und Ungleichungsrestriktionen,

das ist ja jetzt abgeschlossen.

Und um diese Optimierung noch etwas abzurunden, möchte ich heute etwas über konvexe Funktionen

darstellen.

Die konvexen Funktionen, die tauchen in allen möglichen Gebieten.

Der Analysis ist immer wieder auf und deshalb ist es ganz gut, wenn Sie darüber etwas wissen.

Konvexe Funktionen definiert man sinnvollerweise auf konvexen Mengen, deshalb nochmal die Definition

einer konvexen Menge.

Eine Menge Groß K wie konvex, Teilmenge R hoch N heißt konvex,

denn mit zwei Punkten x und y aus dieser Menge K auch alle auf der Verbindungsstrecke in

der Menge K drin sind, also auch für alle Zahlen Lambda aus dem offenen Intervall 0,1.

Das Lambda braucht man um die Verbindungsstrecke zu parametrisieren, gilt 1 minus Lambda mal

x plus Lambda mal y ist in der Menge K drin.

Diese Linearkombination 1 minus Lambda x plus Lambda mal y nennt man auch Konvexkombination,

weil sich die beiden Koeffizienten zu 1 aufsummieren und die beiden positiv sind, das heißt nämlich

geometrisch wir haben die beiden Punkte x und y und die Konvexkombination bilden die

Verbindungsstrecke zwischen den beiden Punkten.

Und die Menge K ist konvex, wenn diese Verbindungsstrecken zwischen zwei Punkten aus der Menge auch immer

in der Menge drin liegen.

Also eine anschauliche Definition und für diese konvexen Mengen kann man jetzt konvex

Funktionen definieren.

Definition einer konvexen Funktion.

Es sei also eine konvexen Menge gegeben.

Auf dieser konvexen Menge K ist eine Funktion definiert und die geht von der konvexen Menge

K in die reellen Zahlen.

Ist also skalarwertig.

Die Funktion f heißt konvex falls.

Jetzt nehmen wir wieder zwei beliebige Punkte x und y aus dieser Menge K und schauen was

mit den Funktionswerten auf der Verbindungsstrecke zwischen den Punkten passiert.

Weil die Menge K konvex ist, wissen wir ja, dass die Verbindungsstrecke auch aus lauter

Punkten aus dem Definitionsbereich besteht, das heißt die Funktionswerte sind für alle

Punkte auf der Verbindungsstrecke definiert.

Wir haben x, y Element K und Zahlen Lambda Element 0, 1 gilt Funktionswerte.

An diesen Stellen Lambda mal x plus 1 minus Lambda mal y sind kleiner gleich Lambda mal

f von x plus 1 minus Lambda mal f von y.

Das ist also diese Konvexitätsungleichung.

Da spielen auch wieder die Konvexkombinationen natürlich die entscheidende Rolle.

Wir kennen ja die linearen Abbildungen, da sieht das so ähnlich aus, aber da haben Sie

ja eine Gleichung in der linearen Algebra und außerdem gilt das für alle Lambda aus

R.

Hier sind die Lambda nur aus dem Intervall von 0 bis 1, damit sie diese Verbindungsstrecke

haben.

Das sind nur die Punkte zwischen x und y und Sie haben hier keine Gleichung, sondern eine

Ungleichung.

Das kann man sich geometrisch auch gut vorstellen.

Wir haben Funktionsgraphen, anschauen, dann muss das so aussehen.

Wir haben hier Punkte x und y und dann diese Verbindungsstrecke zwischen den Funktionswerten

immer oberhalb dieses Graphen der Funktion.

Also das ist die Konvexität geometrisch.

Das ist ja eine Ungleichung mit kleiner gleich und manchmal gilt die für x Ungleich y auch